Question

在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，
（1）求EF的长；
（2）四边形OEBF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）可以先求出△AEO≌△BFO，得出AE=BF，则BE=CF，根据勾股定理求出EF即可；
（2）求出AB的长，求出OA×OB，求出△ABO的面积，即可得出四边形OEBF的面积．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠EAO=∠FBO=45°
又∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°
∴∠AOE=∠BOF，
在△AEO和△BFO中，

∠EAO=∠FBO AO=BO ∠AOE=∠BOF

，
∴△AEO≌△BFO（ASA），
∴AE=BF=4，
∴BE=CF=3，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5；

（2）∵AE=4，BE=3，
∴AB=3+4=7
∴OA×OB=

49

2

∴S_{四边形OEBF}=S_△AOB=

1

2

×OA×OB=

49

4

．

点评：此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理等知识点的综合运用．