Question

19．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=$\frac{1}{2}$BC，则△ABC的顶角的度数为30°或150°或90°．

Answer 1

分析 分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．

解答 解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°-30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．

点评 本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．