Question

如图，AB为⊙O的直径，BC⊥AB，OC过BD中点M，求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：连结OD，如图，根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，易得OM为△ABD的中位线，则OM∥AD，所以∠BMO=∠ADB=90°，于是可判断OC垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质得CD=CB，则∠1=∠2，加上∠3=∠4，所以∠CBO=∠CDO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线．

解答：证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵点M为BD的中点，O点为AB的中点，
∴OM为△ABD的中位线，
∴OM∥AD，
∴∠BMO=∠ADB=90°，
∴OC垂直平分BD，
∴CD=CB，
∴∠1=∠2，
而OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠CBO=∠CDO，
∵BC⊥AB，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．