Question

（1）如图，已知∠AOB，请你利用图①，用尺规作出∠AOB的平分线0P，并画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形；
（2）参考（1）中画全等三角形的方法，解答下列问题：如图②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC与∠BCA的平分线，AD和CE相交于点F，请猜想FE与FD有怎样的数量关系，并加以说明．

Answer 1

考点：作图-轴对称变换,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作图略在OA和OB上截取OE=OF，在OP上任取一点C，连接CE、CF，则△COE≌△COF；
（2）在AC上截取AM=AE，连接MF，根据AD是∠BAC的平分线可得出∠EAF=∠MAF，EF=MF．再由CE是∠BCA的平分线可知∠ACB=90°，∠DCF=45°．根据全等三角形的判定定理得出△CDF≌△CMF，由此可得出结论．

解答：解：（1）如图①所示；

（2）FE=FD．
如图②，在AC上截取AM=AE，连接MF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠MAF，
在△AEF与△AMF中，

AE=AM ∠EAF=∠MAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AMF（SAS）．
∴EF=MF．
∵CE是∠BCA的平分线，∠ACB=90°，
∴∠DCF=45°．
又∵∠B=60°，
∴∠CAD=15°，
∴∠CDF=75°，
∴∠AMF=∠AEF=105°，
∴∠FMC=75°，∠CDF=∠CMF．
在△CDF与△CMF中，

∠DCF=∠MCF ∠CDF=∠CMF CF=CF

，
∴△CDF≌△CMF（AAS），
∴FD=FM，
∴EF=DF．

点评：本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．