Question

3．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象过点（-2，0）和（4，0）可得对称轴为x=1，又函数的最大值为9，则顶点的纵坐标为9，所以可设y=a（x-1）²+9，再把点B的坐标代入求出a的值即可；
（2）过C作CE⊥x轴于E点，根据点的坐标求得两个三角形的面积和一个梯形的面积，它们的和就是四边形ABCD的面积．

解答 解：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．
又∵函数的最大值为9，
∴抛物线的顶点为C（1，9）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+9，代入B（4，0），求得a=-1．
∴二次函数的解析式是y=-（x-1）²+9，
即y=-x²+2x+8．
（2）过C作CE⊥x轴于E点．
当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）．
∴S_{四边形ABCD}=S_△AOD+S_{四边形DOEC}+S_△BCE=$\frac{1}{2}$×2×8+$\frac{1}{2}$×（8+9）×1+$\frac{1}{2}$×2×9=25.5．

点评 本题考查了待定系数法，抛物线和坐标轴的交点、顶点坐标，四边形的面积的求法等，（2）利用分割法求四边形的面积是本题的关键．