Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．

解答 解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC=∠MEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CM=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CM的最小值=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴线段DE的最小值为$\frac{12}{5}$；
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．