Question

如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AB′C′D′，当两正方形重叠部分的面积是原正方形面积的

1

4

时，sin

1

2

∠B′AD=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：B′C′交CD于E，如图，根据旋转的性质得AB′=AD，∠B′=∠D=90°，再证明Rt△ADE≌Rt△AB′E，得到S_△ADE=S_△AB′E，∠1=∠2，则S_△ADE=

1

8

S_{正方形ABCD}，即

1

2

AD•DE=

1

8

•AD•AD，所以DE=

1

4

AD，接着在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=

17

DE，然后利用正弦的定义得sin∠2=

DE

AE

=

17

17

，即sin

1

2

∠B′AD=

17

17

．

解答：解：B′C′交CD于E，如图，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AB′C′D′，
∴AB′=AD，∠B′=∠D=90°，
在Rt△ADE和Rt△AB′E中，

AD=AB′ AE=AE

，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴S_△ADE=S_△AB′E，∠1=∠2，
∵两正方形重叠部分的面积是原正方形面积的

1

4

，
∴S_△ADE=

1

8

S_{正方形ABCD}，
∴

1

2

AD•DE=

1

8

•AD•AD，
∴DE=

1

4

AD，
在Rt△ADE中，AE=

DE2+AD2

=

DE2+16DE2

=

17

DE，
∴sin∠2=

DE

AE

=

1

17

=

17

17

．
即sin

1

2

∠B′AD=

17

17

．
故答案为

17

17

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和锐角三角函数的定义．