Question

15．已知在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，将△ABD绕着点A旋转，得到△ACD′，接连D′E交AC于点O．
（1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D′E；
（2）如图2，当∠DAE=45°，∠BAC=90°，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE时，在不舔加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有的全等三角形．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质和全等三角形的判定定理SAS证得△DAE≌△D′AE，则由“全等三角形的对应边相等”的性质证得结论；
（2）根据旋转的性质得到△ABD≌△AD′C，∠BAD=∠DAC，∠ACD′=∠B，AD=AD′，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAD+∠CAE=45°，推出∠DAC+∠CAE=45°，得到∠DAE=∠DAC，证得△ADE≌△AD′E，根据全等三角形的性质得到DE=D′E，由BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE，等量代换得到CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE，求得∠DEC=45°，推出△CDE是等腰直角三角形，根据线段垂直平分线的判定得到AC垂直平分DE，得到AE=AD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴∠DAD′=∠BAC=120°，AD=AD′．
∵∠DAE=60°，
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=120°-60°=60°，
∴∠DAE=∠D′AE．
在△DAE与△D′AE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD′}\\{∠DAE=∠D′AE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△D′AE（SAS），
∴DE=D′E（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵将△ABD绕着点A旋转，得到△ACD′，
∴△ABD≌△AD′C，∠BAD=∠DAC，∠ACD′=∠B，AD=AD′，
∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，
∴∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠DAC+∠CAE=45°，
∴∠DAE=∠DAC，
在△ADE与△AD′E中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD′}\\{∠DAE=∠D′AE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AD′E，
∴DE=D′E，
∵∠B=∠ACB=∠ACD′=45°，
∴∠D′CE=90°，
∵BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE，
∴∠DEC=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴AC垂直平分DE，
∴AE=AD，
∴△AEF≌△ADF，△CEF≌△CDF，△AEC≌△ADC，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∴BE=CD，
在△ABD与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACB}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴图2中的所有的全等三角形有：△ABD≌△AD′C，△ADE≌△AD′E，△AEF≌△ADF，△CEF≌△CDF，△AEC≌△ADC，△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD．

点评 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，知道旋转前、后的图形全等是解题的关键．