Question

15．如图，点C在线段BE上，在BE的同侧作△ABC和△DCE，AE，BD交于点P，已知AC=BC，DC=EC，∠1=∠2．
（1）求证：∠CAE=∠CBD；
（2）若∠1=45°，求∠APD的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠1=∠2可知∠ACE=∠BCD，结合AC=BC，DC=EC可证△ACE≌△BCD，可得∠CAE=∠CBD；
（2））由∠1=45°、AC=BC知∠ABC+∠BAC=135°，又∠ABC=∠ABP+∠CBD，且∠CBD=∠CAE得∠ABP+∠BAP=135°，最后由∠APD是△ABP的一个外角可得．

解答 （1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD；
（2）解：∵∠1=45°，AC=BC，
∴∠ABC+∠BAC=135°，
∵∠ABC=∠ABP+∠CBD，且∠CBD=∠CAE，
∴∠ABP+∠CAE+∠BAC=135°，即∠ABP+∠BAP=135°，
又∵∠APD是△ABP的一个外角，
∴∠APD=∠ABP+∠BAP=135°，
即∠APD=135°．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质的运用，根据全等三角形的性质和三角形外角性质的结合运用是解题关键．