题目内容

4．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（$\sqrt{2}$）n-1．

分析 首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC2=12+12，AC=$\sqrt{2}$；
同理可求：AE=（$\sqrt{2}$）2，HE=（$\sqrt{2}$）3…，
∴第n个正方形的边长an=（$\sqrt{2}$）n-1．
故答案为（$\sqrt{2}$）n-1．

点评 该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．

练习册系列答案
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14．下列实数是无理数的是（　　）
A．-1B．0C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．$\sqrt{9}$
15．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为（　　）
A．2cmB．3cmC．小于3cmD．不大于3cm
12．若a+b=1，ab=-2，则（a+1）（b+1）的值为0．
19．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=60°，则∠1+∠2=（　　）
A．180°B．100°C．90°D．80°
9．观察下列各式：
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+12+14+15+16=27+64．
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？
16．（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=90+$\frac{x}{2}$°；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°；
（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；
（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：$\frac{1}{2}$（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）-（n-4）×90°．（用含n的代数式表示）
13．在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边A以、BC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=40°，则∠1+∠2=130°；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？猜想结论并说明理由．
14．一个三角形各顶点的坐标如图所示，把此三角形先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到三角形A′B′C′，
（1）试画出三角形A′B′C′，并写出它的三个顶点的坐标．
（2）求三角形A′B′C′的面积．

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