题目内容
【题目】如图，在等边
中，
是边
上一点，连接
，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，若
，
，则有以下四个结论：①
是等边三角形；②
；③
的周长是10；④
．其中正确结论的序号是（ ）
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
【答案】D
【解析】
先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，可知：BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，从而得∠BAE=∠ABC=60°，根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=10．
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，
∴②正确；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=6+4=10，
∴③正确；
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC＜60°，
∴∠ADE≠∠BDC，
∴④错误．
故选D．
