Question

已知二次函数y=-x²+6x-5的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）通过配方，确定点C坐标；
（2）二次函数y=x²-2mx+m²-4的图象与x轴交于点D、E（点D在点E的左侧），顶点为F．
①若存在以六点A、B、C、D、E、F中的四点为顶点的四边形为菱形，则m=

 

；
②是否存在以六点A、B、C、D、E、F中的四点为顶点的四边形为矩形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将二次函数配方后即可确定顶点坐标；
（2）A、B、D、E四点在同一直线上，不可能构成四边形，只能四边形ACBF为菱形，点F与点C关于x轴对称，从而确定点F的坐标为（3，-4），然后利用二次函数的对称轴公式求得m的值即可；
（3）A、B、D、E四点在同一直线上，不可能构成四边形，显然，∠ACB≠90°，∠ACB也不可能为矩形的一个内角，所以四边形为矩形的顶点只能是A、C、E、F或B、C、D、F；然后分当以四边形ACEF为矩形时和当四边形BCDF为矩形时两种情况分类讨论即可确定m的值．

解答：解：（1）y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
∴点C坐标为（3，4）；

（2）①A、B、D、E四点在同一直线上，不可能构成四边形，
∴只能四边形ACBF为菱形，
∴点F与点C关于x轴对称，
∴点F的坐标为（3，-4），
∴二次函数y=x²-2mx+m²-4的顶点为F，
∴-

-2m

2

=3，
解得：m=3；

②A、B、D、E四点在同一直线上，不可能构成四边形，
显然，∠ACB≠90°．
∴∠ACB也不可能为矩形的一个内角；
所以四边形为矩形的顶点只能是A、C、E、F或B、C、D、F．
当以四边形ACEF为矩形时，
函数y=（x-m）²-4的图象可由y=-（x-3）²+4关于x轴的
对称图象沿x轴平移而得，所以△ABC≌△DEF．；
当四边形ACEF为矩形时，△ACG∽△FAH．
∴

CG

AG

=

AH

HF

，
即

4

2

=

AH

4

．
∴AH=8．
∴m=9，
当四边形BCDF为矩形时，同上求得m=-3，
∴当m=-3或9时，存在以六点A、B、C、D、E、F中的四点为顶点的四边形为矩形．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，（2）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．