Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°．

（1）请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，切点为Q；（尺规作图，保留作图痕迹）

（2）若AB=3，BC=4，求第（1）题中所作圆的半径；

（3）连结BQ，第（2）中的条件均不变，求sin∠CBQ．

Answer 1

【考点】作图—复杂作图；切线的性质；相似三角形的判定与性质．

【专题】作图题．

【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于P点，然后以点P为圆心，PB为半径作圆即可；

（2）连结PQ，如图，先计算出AC=5，设半径为r，BP=PQ=r，PC=4﹣r，再证明Rt△CPQ∽Rt△CAB，则可利用相似比计算出r即可；

（3）先利用切线长定理得到AB=AQ，加上PB=PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，则利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦定义求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．

【解答】解：（1）如图，⊙P为所作；

（2）连结PQ，如图，

在Rt△ABC中，AC==5，

设半径为r，BP=PQ=r，PC=4﹣r

∵AB与⊙P相切于Q，

∴PQ⊥AC，

∵∠PCQ=∠ACP，

∴Rt△CPQ∽Rt△CAB，

∴=，即=，解得r=，

即所作圆的半径为；

（3）∵AB、AQ为⊙P的切线，

∴AB=AQ，

∵PB=PQ，

∴AP为BQ的垂直平分线，

∴∠BAP+∠ABQ=90°，

∵∠CBQ+∠ABQ=90°，

∴∠CBQ=∠BAP，

在Rt△ABP中，AP==，

∴sin∠BAP===，

∴sin∠CBQ=．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和三角函数的定义．