Question

已知二次函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位得到．反比例函数与二次函数的图象交于点A（1，n）．

（1）求a，p，q，m，n的值；

（2）要使反比例函数和二次函数在直线的一侧都是y随着x的增大而减小，求t的最大值；

（3）记二次函数图象的顶点为B，以AB为边构造矩形ABCD，边CD与函数相交，且直线AB与CD的距离为，求出点D，C的坐标．

Answer 1

（1），p=3，q=6，m=12,n=12；（2）-3；（3）D的坐标为（3，11），点C（﹣1，3）．

【解析】

试题分析：（1）先将函数y=x2+2x+q配方，即可得到顶点坐标（-2，q-2），根据平移的性质可得a=，p=3，q=6，再把x=1，y=n代入y=(x+3)2+4，把x=1，y=12代入y=可求m，n的值；

（2）根据反比例函数的增减性，二次函数y=(x+3)2+4的对称轴和增减性，即可求得t的最大值；

（3）过点A作直线l∥x轴，作DF⊥l于F，BE⊥l于E．，根据勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，即可求得点D，C的坐标．

试题解析：【解析】
（1），顶点坐标（﹣2，q﹣2）

（或用顶点坐标公式）

∴，p=3，q=6，

把x=1，y=n代入得n=12；

把x=1，y=12代入得m=12；

（2）∵反比例函数在图象所在的每一象限内，y随着x的增大而减小

而二次函数的对称轴为：直线x=﹣3

要使二次函数满足上述条件，x≤﹣3

∴t的最大值为﹣3；

（3）如图，过点A作直线l∥x轴，作DF⊥l于F，BE⊥l于E．

∵点B的坐标为（﹣3，4），A（1，12）

∴AE=4，BE=8

∵BE⊥l，

∴

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，∴∠EAB+∠FAD=90°

∵BE⊥l于E，

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠FAD=∠EBA

∴Rt△EBA∽Rt△FAD∴

又∵AD=，

∴FD=1

同理：AF=2

∴点D的坐标为（3，11）

同理可求点C（﹣1，3）．

考点：二次函数综合题．