Question

在△ABC中，AB=2

2

，∠ABC=45°，AC=

5

，将射线AC绕点A逆时针旋转45°与直线BC交于点E，则线段CE的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：分类讨论

分析：分类讨论：当△ABC为锐角三角形，作AD⊥BC于D，易得△ABD为等腰直角三角形，则AD=BD=

2

2

AB=2，在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出CD=1，再根据旋转的性质得∠1=45°，然后证明△EAC∽△EBA，利用相似比得到AE²=CE•BE，即AE²=CE•（BD+CD+CE）=CE•（3+CE），而在Rt△ADE中，利用勾股定理得AE²=AD²+DE²=4+（1+CE）²，所以CE•（3+CE）=4+（1+CE）²，解方程得到CE=5；当△ABC为钝角三角形，作AD⊥BC于D，同理可得AD=BD=2，CD=1，则BC=BD-CD=1，同样证明△EAC∽△EBA，得到AE²=CE•BE，即AE²=CE•（BC+CE）=CE•（1+CE），在Rt△ADE中，根据勾股定理得AE²=AD²+DE²=4+（CE-1）²，所以CE•（1+CE）=4+（CE-1）²，然后接方程得CE=

5

3

，于是得到CE的长为

5

3

或5．

解答：解：当△ABC为锐角三角形，如图1，
作AD⊥BC于D，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD=

2

2

AB=

2

2

×2

2

=2，
在Rt△ACD中，AC=

5

，AD=2，
∴CD=

AC2-CD2

=1，
∵射线AC绕点A逆时针旋转45°与直线BC交于点E，
∴∠1=45°，
而∠B=45°，
∴∠1=∠B，
而∠AEC=∠BEA，
∴△EAC∽△EBA，
∴CE：AE=AE：BE，即AE²=CE•BE，
∴AE²=CE•（BD+CD+CE）=CE•（3+CE），
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=4+（1+CE）²，
∴CE•（3+CE）=4+（1+CE）²，解得CE=5；
当△ABC为钝角三角形，如图2，
作AD⊥BC于D，同理可得AD=BD=2，CD=1，
∴BC=BD-CD=1，
∵射线AC绕点A逆时针旋转45°与直线BC交于点E，
∴∠CAE=45°，
而∠B=45°，
∴∠CAE=∠B，
∴△EAC∽△EBA，
∴CE：AE=AE：BE，即AE²=CE•BE，
∴AE²=CE•（BC+CE）=CE•（1+CE），
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=4+（CE-1）²，
∴CE•（1+CE）=4+（CE-1）²，解得CE=

5

3

，
∴CE的长为

5

3

或5．
故答案为

5

3

或5．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．