Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作?DEFA．
（1）当m=1时，求AE的长．
（2）当0＜m＜3时，若?DEFA为矩形，求m的值；
（3）是否存在m的值，使得?DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）当m=1时，C点的坐标为（0，1），∴OC=1，BC=2，根据勾股定理可求得AB的长为5，△BCE∽△BAO，可求得BE的长，继而求得AE的长．
（2）分两种情况讨论．
（Ⅰ）0＜m＜2时，点D在线段OA上．由△ADE∽△AOB，得到

AD

AO

=

AE

AB

，即：

4-2m

4

=

AE

5

，结合（1）可知道AE=

16+3m

5

，解方程，可求得m的值．
（Ⅱ）当2＜m＜3时，点D在点A的右侧，此时∠EDA＜∠EAO，∴∠EDA不可能为90°，∴不存在矩形．
（3）过点D做DH⊥AE，垂足为H，因为四边形ADEF是菱形，所以EH=AH=

1

2

AE=

16+3m

10

，AD=4-2m，∴△ADH∽△AOB，解关于m的方程求得m=

16

19

或m=-

16

13

．
说明点C既可以在y轴的正半轴上，也可以在y轴的负半轴上，两种情况．

解答：解：（1）当m=1时，OC=1，BC=2．∴△BCE∽△BAO∴

BE

BO

=

BC

BA

∴

BE

3

=

2

5

，∴BE=

6

5

∴AE=

16+3m

5

=

19

5

（2）解：当0＜m＜2时，点D在线段OA上．
当□DEFA为矩形时，则 ED⊥x轴．
∴△ADE∽△AOB∴

AD

AO

=

AE

AB

∴

4-2m

4

=

AE

5

由（1）的计算可知∴AE=

16+3m

5

∴

4-2m

4

=

16+3m 5

5

∴m=

18

31

当m＞2时，点D在点A的右侧，此时∠EDA＜∠EAO，
∴∠EDA不可能为90°，∴不存在矩形   
（3）m=

16

19

或m=-

16

13

．

点评：本题考查了勾股定理逆定理的简单运用，以及利用三角形相似的性质求线段长度的转化，学会分类讨论思想是解答本题的关键．