通过类比联想.引申拓展研究典型题目.可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例.请补充完整．原题:如图1.点E.F分别在正方形ABCD的边BC.CD上.∠EAF=45°.连接EF.试猜想EF.BE.DF之间的数量关系．(1)思路梳理把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG.可使AB与AD重合.由∠ADG=∠B=90°.得∠FDG=180°.即点F.D.G共线.易证△AFG� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．

（1）思路梳理
把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌△AFE，故EF、BE、DF之间的数量关系为BE+FD=EF．
（2）类比引申
如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，EC=2，则DE的长为$\sqrt{5}$．

分析（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．

解答解：（1）如图1所示：

∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE．
∴EF=FG．
∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF．
故答案为：△AFE；BE+FD=EF．
（2）DF=EF+BE．
理由：如图2所示．

∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=GA}\\{∠EAF=∠GAF}\\{EF=FG}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF．
∴EF=FG．
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE．
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
则在△ADF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠FAD=∠DAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADE．
∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°．
∴∠BDF=90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD²+BF²=DF²．
∴BD²+CE²=DE²．
∴DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．