题目内容

如图，直线y=
1
2
x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=-
5
4
x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．
（1）求B点坐标以及抛物线的函数解析式．
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C运动，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P运动的时间为t秒，求线段MN的长与t的函数关系式，当t为何值时，MN的长最大，最大值是多少？
（3）在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．
分析：（1）先由y=
1
2
x+1，求出与y轴交点A的坐标，再将x=3代入y=
1
2
x+1，求出y的值，得到B点坐标，然后将A、B两点坐标代入y=-
5
4
x2+bx+c，运用待定系数法即可求得抛物线的函数解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M、N的坐标，再根据MN=NP-MP，即可得到线段MN的长与t的函数关系式为MN=-
5
4
t2+
15
4
t（0≤t≤3），然后运用配方法可求出当t=
3
2
时，MN的长最大，最大值是
45
16
；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：-
5
4
t2+
15
4
t=
5
2
，解方程求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．
解答：解：（1）∵y=
1
2
x+1，
∴当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1），
当x=3时，y=
1
2
×3+1=2.5，即B点坐标为（3，2.5），
将A（0，1），B（3，2.5）代入y=-
5
4
x2+bx+c，
得
c=1
-
5
4
×9+3b+c=2.5
，
解得：
b=
17
4
c=1
，
∴抛物线的函数解析式为y=-
5
4
x2+
17
4
x+1；

（2）∵OP=1•t=t，
∴P（t，0），M（t，
1
2
t+1），N（t，-
5
4
t2+
17
4
t+1），
∴MN=NP-MP=（-
5
4
t2+
17
4
t+1）-（
1
2
t+1）=-
5
4
t2+
15
4
t，
即线段MN的长与t的函数关系式为MN=-
5
4
t2+
15
4
t（0≤t≤3）；
∵-
5
4
t2+
15
4
t=-
5
4
（t2-3t）=-
5
4
（t-
3
2
）2+
45
16
，
∴当t=
3
2
时，MN的长最大，最大值是
45
16
；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
此时，有-
5
4
t2+
15
4
t=
5
2
，
解得t1=1，t2=2，
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形；
当t=1时，MN=-
5
4
×12+
15
4
×1=
5
2
，MP=
1
2
×1+1=
3
2
，PC=3-1=2，
在Rt△MPC中，MC=
MP2+PC2
=
(
3
2
)2+22
=
5
2
，
故MN=MC，此时平行四边形BCMN为菱形；
当t=2时，MN=-
5
4
×22+
15
4
×2=
5
2
，MP=
1
2
×2+1=2，PC=3-2=1，
在Rt△MPC中，MC=
MP2+PC2
=
22+12
=
5
，
故MN≠MC，此时平行四边形BCMN不是菱形．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，二次函数的性质，平行四边形以及菱形的性质与判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．
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k
x
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．
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；
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；
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k
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，则k的值为（　　）

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