Question

如图，直线y=-

1

2

x+4与x轴、y轴分别交于C、D，以OD为直径作⊙A交CD于F，FA的延长线交⊙A于E，交x轴于B．
（1）设F（a，b），求以a，b为根的一元二次方程；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析：（1）作辅助线FO和FH，根据直径所对的圆周角是90度，构造出直角三角形OFC，利用勾股定理求出a，b的值；
（2）利用相似三角形的性质，根据相似比来求．

解答：解：（1）过F作EH⊥BC，H为垂足，连接OF，由直线方程得，OD=4，OC=8，CD=4

5

，
∵∠OFD为直径OD所对圆周角，
∴OF⊥DC，OF=

OD•OC

DC

=

8

5

5

，
在Rt△OFC中，FC=

OC2-OF2

=

16

5

5

，FH=

OF×FC

OC

=

16

5

，OH=

OF2-FH2

=

8

5

，
∴a=

8

5

，b=

16

5

，
∴所求方程为x²-

24

5

x+

128

25

=0；

（2）∵在Rt△BAO和Rt△BFH中，∠B为公共角，
∴Rt△BAO∽Rt△BFH，
∴

BA

BF

=

AO

FH

，

BE+2

BE+4

=

2

16 5

=

5

8

，
∴BE=

4

3

．

点评：此题结合了圆的相关定理和勾股定理以及根据方程的根构造一元二次方程，综合性较强且难度适中，是一道好题．