Question

10．若x₁，x₂是关于x的方程x²+bx+c=0的两实根，且x₁²+3x₂²=3|k|（k为整数），则称方程x²+bx+c=0为“B系二次方程”，如：x²+2x-3=0，x²+2x-15=0，x²+3x-$\frac{27}{4}$=0，x²+x-$\frac{15}{4}$=0，x²-2x-3=0，x²-2x-15=0等，都是“B系二次方程”．请问：对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”，并说明理由．

Answer 1

分析 由条件x²-2x-15=0，x²+2x-15=0是“B系二次方程”进行建模，设c=mb²+n，就可以表示出c，然后根据公式法求出其两根，再代入x₁²+3x₂²看结果是否为3的整数倍即可得出结论．

解答 解：存在．
理由：x²-2x-15=0，x²+2x-15=0是“B系二次方程”，
∴假设c=mb²+n，
当b=-2，c=-15时，-15=4m+n，
∵x²=0是“B系二次方程”，
∴n=0时，m=-$\frac{15}{4}$，
∴c=-$\frac{15}{4}$b²，
∵x²+2x-15=0，是“B系二次方程”，
当b=2时，c=-$\frac{15}{4}$×2²，
∴可设c=-$\frac{15}{4}$b²，
对于任意一个整数b，当c=-$\frac{15}{4}$b²时，△=b²-4ac=16b²．
∴x=$\frac{-b±4b}{2}$，
即x₁=$\frac{3}{2}$b，x₂=-$\frac{5}{2}$b，
∴x₁²+3x₂²=$\frac{9}{4}$b²+3×$\frac{25}{4}$b²=21b²，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，当c=-$\frac{15}{4}$b²时，关于x的方程x²+bx+c=0是“B系二次方程”．

点评 本题主要考查了根与系数的关系，解决问题需要掌握一元二次方程的解法的运用、根的判别式的运用以及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件特征建立模型是关键．