Question

2．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠ACB=60度；
（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，试求出$\frac{AD}{BE}$的值；
（3）当点D在射线AM上点M下方时时，$\frac{AD}{BE}$的值是否发生改变，并说出理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的每一个内角都等于60°解答；
（2）根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，CD=CE，每一个内角都等于60°可得∠ACB=∠DCE=60°，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，从而得解；
（3）作出图形，然后与（2）同理求解即可．

解答 （1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
故答案为：60；

（2）解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB，
∠BCE+∠BCD=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴$\frac{AD}{BE}$=1；

（3）解：点D在射线AM上点M下方时，$\frac{AD}{BE}$的值不会发生改变．
理由如下：如图，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD-∠BCD=∠ACB，
∠BCE-∠BCD=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴$\frac{AD}{BE}$=1．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质并确定出全等三角形是解题的关键．