Question

如图所示，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA＝∠BAP．

(1)求证：PA是⊙O的切线；

(2)若PB∶BC＝2∶3，且PC＝10，求PA的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接AO，并延长交⊙O于D，连接BD，∵AD是直径， 　　∴∠DBA＝90°． 　　∴∠D＋∠DAB＝90°．又∠D＝∠C＝∠PAB， 　　∴∠DAB＋∠PAB＝90°． 　　即OA⊥PA．而OA是⊙O的半径， 　　∴PA是⊙O的切线; 　　(2)解：∵∠C＝∠PAB，∠P＝∠P， 　　∴△PAC∽△PBA，∴． 　　又PB∶BC＝2∶3，故BC＝6． 　　∴PB＝10－6＝4．∴PA2＝PB·PC＝4×10＝40． 　　即PA＝2(PA＝－2舍去)．