Question

10．（1）如图1，点A，B，E不在同一条直线上，△ABC与△ADE都是等边三角形，连结BD、CE，请你猜想BD与CE的大小关系，请说明理由；
（2）如图2，如果把两个等边三角形改成两个等腰直角△ABC与△ADE，其他条件不变！那么CE=BD成立吗？（直接写出答案）；
（3）如图3，如果把两个等边三角形改成两个正方形，即正方形ABCD，正方形AEFG（正方形的四条边相等，四个角都是直角），连结BE，过点A作BE的垂线，交BE于点H，过点D、G分别作DM⊥AH，GN⊥AH，垂足分别为点N、M，猜想DM和NG的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可求得△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得CE=BD．
（2）证明方法和（1）一样，利用SAS证得△ABD≌△ACE，得出BD=CE；
（3）首先利用AAS证得△ABH≌△DAM，得出DM=AH，同理证得△AHE≌△ANGA，得出NG=AH，推出DM=NG．

解答 解：（1）BD=CE．
∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=CE．
（2）BD=CE．
∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=CE．
（3）DM=NG．
∵正方形ABCD，正方形AEFG，
∴AB=AD，AG=AE，∠BAD=∠GAE=90°，
∵DM⊥AH，GN⊥AH，AH⊥BE，
∴∠AHB=∠AHE=∠DMA=∠GAN=90°，
∴∠DAM=∠ABH，∠NAG=∠AEH，
在△ABH和△ADM中，△AEH和△AGN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠AMD}\\{∠ABH=∠DAM}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠ANG}\\{∠AEH=∠NAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADM，△AEH≌△AGN，
∴DM=AH，NG=AH，
∴DM=NG．

点评 此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，正方形的性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．