Question

15．如图，已知函数y=-$\frac{1}{2}$x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M（2，2），在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=x的图象于点C、D．
（1）求点A的坐标；
（2）当a=-1时，求CD的长；
（3）当CD=2OB时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把M（2，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；
（2）根据a=-1，则点P（-1，0），当x=-1时，y=-$\frac{1}{2}$x+3=-$\frac{1}{2}×$（-1）+3=$\frac{7}{2}$，确定点C的坐标为（-1，$\frac{7}{2}$），点D的坐标为（-1，-1），即可求出CD的长；
（3）再先确定B点坐标为（0，3），则OB=3，CD=2OB=6，再表示出C点坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+3），D点坐标为（a，a），所以|a-（-$\frac{1}{2}$a+3）|=6，然后解方程即可．

解答 解：（1）把M（2，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b得：-$\frac{1}{2}$×2+b=2，
解得：b=3，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
当y=0时，x=6，
∴A点坐标为（6，0）；
（2）当a=-1时，则点P（-1，0），
当x=-1时，y=-$\frac{1}{2}$x+3=-$\frac{1}{2}×$（-1）+3=$\frac{7}{2}$，
则点C的坐标为（-1，$\frac{7}{2}$），点D的坐标为（-1，-1），
则CD=$\frac{7}{2}$-（-1）=$\frac{9}{2}$．
（3）把x=0代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得y=3，
∴B点坐标为（0，3），
∵CD=2OB，
∴CD=6，
∵PC⊥x轴，
∴C点坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+3），D点坐标为（a，a）
∴|a-（-$\frac{1}{2}$a+3）|=6，
∴a=6或-2．

点评 本题考查了一次函数和两点之间的距离，解决本题的关键是求出点C和点D的坐标，根据两点之间的距离公式进行解决问题．