Question

20．如图，已知直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E、F在线段BC上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若∠OEC=∠OBA，求∠OEC的度数；
（3）若平行移动线段AB，是否存在∠OEC=2∠OBA？若存在，求出∠OEC的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质求出∠AOC的度数，再由角平分线的性质即可得出结论；
（2）设∠AOB=x，根据CB∥AO得出∠CBO=∠AOB=x，根据∠OEC=∠EOA=∠AOB+∠EOB=x+36°，CB∥AO可知∠OBA=180°-∠OAB-∠CBO=180°-108°-x=72°-x，根据∠OEC=∠OBA可得出x的值，进而可得出结论；
（3）由（2）可知：∠OEC=x+36°，∠OBA=72°-x，根据∠OEC=2∠OBA可得出x+36°=2（72°-x），故可得出x=36°，所以∠EOC=∠EOB+∠AOB=36°+36°=72°这与∠COA=72°相矛盾，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°，
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×72°=36°；   

（2）设∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵∠OEC=∠EOA=∠AOB+∠EOB=x+36°，CB∥AO
∴∠OBA=180°-∠OAB-∠CBO=180°-108°-x=72°-x，
∵∠OEC=∠OBA，
∴x+36°=72°-x，
∴x=18°，
∴∠OEC=∠OBA=72°-18°=54°．   

（3）不存在．
由（2）可知：∠OEC=x+36°，∠OBA=72°-x
∵∠OEC=2∠OBA，
∴x+36°=2（72°-x），
解得x=36°，
∴∠EOA=∠EOB+∠AOB=36°+36°=72°这与∠COA=72°相矛盾．
∴不存在∠OEC=2∠OBA．

点评 本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线的性质及三角形内角和定理，难度适中．