Question

15．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，其中B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，3），且图象对称轴为直线x=1．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）P为二次函数y=ax²+bx+c在x轴下方的图象上一点，且S_△ABP=S_△ABC，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将B、C的坐标和对称轴方程代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，可得此二次函数的关系式；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等，可得P的纵坐标与C的纵坐标互为相反数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）根据题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=3}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故二次函数的表达式为y=-x²+2x+3．
（2）由S_△ABP=S_△ABC，得
y_P+y_C=0，得y_P=-3，
当y=-3时，-x²+2x+3=-3，
解得x₁=1-$\sqrt{7}$，x₂=1+$\sqrt{7}$．
故P点的坐标为（1-$\sqrt{7}$，-3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用等底等高的三角形的面积相等得出P的纵坐标与C的纵坐标互为相反数是解题关键．