Question

已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=

3

4

x-3交x轴于点A，交y轴于点D，直线y=2x+b经过点B，D，且AB⊥x轴，BC⊥y轴于点C．
（1）求点B的坐标；
（2）点P（0，t）在线段OC（点p不与O、C点重合）上运动，过点P作PE∥DB交BC于点E，设线段BE的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点H为线段OC上一点，连接AP与直线DB交于点M，连接PB，当以PB为直径的圆经过点M时，恰好使∠MHO=∠OAD，求此时的t值及H点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线y=

3

4

x-3求得A、D的坐标，把A的横坐标代入直线BD的解析式即可求得B的坐标；
（2）根据题意得出

CP

CD

=

CE

CB

，即

5-t

8

=

4-d

4

，即可求得d与t的函数关系式；
（3）根据题意设出直线AP的解析式为y=-

1

2

x+t，代入A的坐标即可求得t的值，根据直线AP和直线BD的解析式，求得交点M的坐标，然后根据△DOA∽△MNH，得出

HN

OA

=

MN

OD

，求得NH的长，即可求得H的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=

3

4

x-3，
∴A（4，0），D（0，-3），
∵直线y=2x+b经过点D，
∴b=-3，
∴直线BD为：y=2x-3，
∵AB⊥x轴，
把x=4代入得，y=2×4-3=5，
∴点B的坐标为（4，5）；
（2）如图①，∵B（4，5），BC⊥y轴于点C，
∴C（0，5），
∴CD=8，BC=4，
∵PE∥DB，
∴

CP

CD

=

CE

CB

，即

5-t

8

=

4-d

4

，
∴d=

1

2

t+

3

2

（0＜t＜5）；
（3）如图②，∵以PB为直径的圆经过点M，
∴∠PMB=90°，
∵直线BD为：y=2x-3，
∴设直线AP的解析式为y=-

1

2

x+t，
∵A（（4，0），
代入得0=-

1

2

×4+t，解得t=2，
∴直线AP的解析式为y=-

1

2

x+2，
解

y=2x-3 y=- 1 2 x+2

，得

x=2 y=1

，
∴M（2，1），
作MN⊥y轴于N，则MN=2．
∵∠AOD=∠MNH=90°，∠MHO=∠OAD，
∴△DOA∽△MNH，
∴

HN

OA

=

MN

OD

，即

NH

4

=

2

3

，解得NH=

8

3

，
∴OH=

8

3

+1=

11

3

，
∴H（0，

11

3

）．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，直线的交点的求法三角形相似的判定和性质等．