如图1.在平面直角坐标系中.已知矩形ABCD的三个顶点B.D.双曲线y=$\frac{k}{x}$过点A.动点P从点A出发.沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发.沿线段CD向点D运动.点P.Q的运动速度均为每秒$\sqrt{3}$个单位.运动时间为t秒．(1)直接写出点A的坐标.并求出双曲线的解析式,(2)点M是双曲线上一动点.且以P.Q.C.M为顶点的四边形是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（2，0），D（2，$\sqrt{3}$），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）过点A，动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，点P，Q的运动速度均为每秒$\sqrt{3}$个单位，运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标，并求出双曲线的解析式；
（2）点M是双曲线上一动点，且以P，Q，C，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；
（3）如图2，过点Q作QH⊥CD交AC于点H，在动点P，Q运动的过程中，在坐标平面内是否存在点N，使以B，H，P，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据矩形的性质即可得到结论
（2）分三种情况，当以PQ为对角线时，如图1，PM∥CQ，PM=CQ，得到M（1，$\sqrt{3}$），当以CQ为对角线时，如图2，DQ=PB，QF=FC，得到DQ=QF=FC，于是求得M（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），当以CP为对角线时，本存在；
（3）存在，根据AD=1，DC=$\sqrt{3}$，求得∠ACD=30°，于是得到H（2-t，$\sqrt{3}$t），p（1，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），当PH²=BH²时，当PH²=BH²时，当PB²=BH²时分别列方程求得t的值．

解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∵B（1，0），D（2，$\sqrt{3}$），
∴OB=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）过点A，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵点P，Q的运动速度均为每秒$\sqrt{3}$个单位，
∴当以PQ为对角线时，如图1，
PM∥CQ，PM=CQ，
∴M与A重合，
∴M（1，$\sqrt{3}$），
当以CQ为对角线时，如图2，DQ=PB，QF=FC，
∴DQ=QF=FC，
∴P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴M（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
当以CP为对角线时，本存在；

（3）存在，∵AD=1，DC=$\sqrt{3}$，∴∠ACD=30°，B（1，0），
∴H（2-t，$\sqrt{3}$t），P（1，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），
∵在平面内，∴只要邻边相等即可，
当PH²=BH²时，即（2-t-1）²+（2$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$）²=（t-1）²+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²，
解得：t=0，t=$\frac{2}{3}$，
∵0≤t≤1，
∴存在，
当PH²=PB²时，（1-2+t）²+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$t）²=（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²，
解得：t=$\frac{4±\sqrt{6}}{10}$，∵0≤t≤1，
∴t=$\frac{4±\sqrt{6}}{10}$，
∵当PB²=BH²时，（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²=（1-2+t）²+（$\sqrt{3}$t）²，
解得：t=-2±$\sqrt{6}$，
∵0≤t≤1，
∴t=-2+$\sqrt{6}$，
综上所述：当t=0，$\frac{2}{3}$，$\frac{4±\sqrt{6}}{10}$，-2$+\sqrt{6}$时，以B，H，P，N为顶点的四边形为菱形．