Question

如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2

2

，则点O到BE的距离OM=

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：连接OA、OB、OD，求出AD，求出CE，根据勾股定理求出BE，根据相交弦定理求出EF，根据垂径定理求出BM，在△BOM中，根据勾股定理求出OM即可．

解答：解：连接OD，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOD=

1

4

×360°=90°，
在△AOD中，由勾股定理得：AD=

OD2+OA2

=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4，
∴CD=AD=BC=4，
∵E是CD中点，
∴DE=CE=2，
在△BCE中由勾股定理得：BE=

22+42

=2

5

，
由相交弦定理得：CE×DE=BE×EF，
即2×2=2

5

EF，
∴EF=

2 5

5

，
∴BF=2

5

+

2 5

5

=

12 5

5

，
∵OM⊥BF，OM过圆心O，
∴BM=FM=

1

2

BF=

6 5

5

，
在△BOM中，由勾股定理得：OB²=OM²+BM²，
即（2

2

）²=OM²+（

6 5

5

）²，
解得：OM=

2 5

5

．
故答案为

2 5

5

．

点评：本题考查了正多边形和圆，综合运用了垂径定理，勾股定理，相交弦定理，正方形的性质等知识点，关键是构造直角三角形，并进一步求出BM长，主要培养了学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，具有一定的代表性，难度适中．