Question

14．已知抛物线y=kx²+（2k+1）x+2．
（1）当k=2时，求图象与x轴的交点坐标；
（2）当抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，对于抛物线上的任意两点P（a，y₁），Q（a-m，y₂）（m≥1），必有y₁＞y₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将抛物线的解析式变形为y=（kx+1）（x+2），然后将k=2代入，最后令y=0求得方程的解即可；
（2）由方程的解均为整数且k为正整数可求得k的值，最后依据y₁＞y₂列不等式求解即可．

解答 解：（1）y=kx²+（2k+1）x+2=（kx+1）（x+2）．
将k=2代入得：y=（2x+1）（x+2）．
令y=0得：（2x+1）（x+2）=0，解得x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$．
所以函数图象与x轴交点坐标为（-2，0）或（-$\frac{1}{2}$，0）．
（2）令y=0得（kx+1）（x+2）=0，解得：x₁=-2或x₂=-$\frac{1}{k}$．
∵方程的解均为整数且k为正整数，
∴k=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+3x+2．
∵对于抛物线上的任意两点P（a，y₁），Q（a-m，y₂）（m≥1），必有y₁＞y₂，
∴a²+3a+2＞（a-m）²+3（a-m）+2，解得：a＞$\frac{m-3}{2}$．
∵m≥1，
∴a＞-1．

点评 本题主要考查的是二次函数与x轴的交点坐标，依据y₁＞y₂列出不等式是解题的关键．