Question

10．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，$\sqrt{3}$），则（1）OA的长为2，（2）点C的坐标为（-$\sqrt{3}$，1）．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理直接计算即可求出OA的长；
（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{3+1}$=2，
故答案为：2；
（2）如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠COE}\\{∠ADO=∠OEC=90°}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE=AD=$\sqrt{3}$，CE=OD=1，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-$\sqrt{3}$，1）．
故答案为（-$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．