Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点立即停止移动，点P运动时间为t秒．
（1）设五边形APQCD的面积为Scm²，写出S与t的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并求出t为何值时，S最小？最小值是多少？
（2）当t为何值时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S=S_矩形ABCD-S_△PBQ求面积即可，再所求函数式配方，可得函数的最小值．
（2）若以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况：
①△BPQ∽△BAC，此时得BQ：BC=BP：AB；
②△BPQ∽△BCA，此时得BQ：AB=BP：BC．
可根据上述两种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．

解答 解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，
故S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（6-t）•2t=-t²+6t
∵S_矩形ABCD=6×10=60．
∴S=60-S_△PBQ=t²-6t+60，
∵6÷1=6（秒），10÷2=5秒，当一个点到达终点时，另一个点立即停止移动，
∴0＜t≤5，
∵S=t²-6t+60=（t-3）²+51，
∴当t=3秒时，S有最小值51cm²．
（2）若以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，得$\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{AB}$，
即$\frac{2t}{10}=\frac{6-t}{6}$
解得：t=$\frac{10}{3}$
②△BPQ∽△BCA时，此时得$\frac{BQ}{AB}=\frac{BP}{BC}$，
即$\frac{2t}{6}=\frac{6-t}{10}$
解得：t=$\frac{18}{13}$．
故当t=$\frac{10}{3}$或t=$\frac{18}{13}$时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了二次函数的最值在解决面积问题中的运用和矩形的性质及相似三角形的判定和性质．在（1）关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积，把所得的代数式看作二次函数求最值．在（2）中当相似三角形的对应角和对应线段不明确时，应考虑到所有可能的情况，分类讨论，以免漏解．