Question

19．若a-$\frac{1}{a}$=4，求下列代数式的值：
（1）a+$\frac{1}{a}$；
（2）a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$；
（3）a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$；
（4）a³+$\frac{1}{{a}^{3}}$；
（5）a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$；
（6）$\frac{6{a}^{2}}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 （1）根据（a+$\frac{1}{a}$）²=（a-$\frac{1}{a}$）²+4，然后开方即可求解；
（2）利用平方差公式变形，然后代入求解；
（3）根据a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a-$\frac{1}{a}$）²+2即可代入求解；
（4）利用立方和公式即可代入求解；
（5）根据a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-2，代入求解即可；
（6）首先求得$\frac{{a}^{4}+{a}^{2}+1}{6{a}^{2}}$的值，然后求倒数即可．

解答 解：（1）∵（a+$\frac{1}{a}$）²=（a-$\frac{1}{a}$）²+4=16+4=20，
∴a+$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{20}$=±2$\sqrt{5}$；
（2）原式=（a+$\frac{1}{a}$）（a-$\frac{1}{a}$）=±$\sqrt{5}$；
（3）原式=（a-$\frac{1}{a}$）²+2=16+2=18，
（4）原式=（a+$\frac{1}{a}$）（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-1）=±2$\sqrt{5}$（18-1）=±34$\sqrt{5}$；
（5）原式=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²-2=18²-2=322；
（6）$\frac{{a}^{4}+{a}^{2}+1}{6{a}^{2}}$=$\frac{1}{6}$（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）=$\frac{1}{6}$（18+1）=$\frac{19}{6}$．
则原式=$\frac{6}{19}$．

点评 本题考查了代数式的化简求值，正确理解完全平方公式以及立方和公式的结构是关键．