Question

以下二次根式：
①

1+ 1 12 + 1 22

，②

1+ 1 22 + 1 32

，③

1+ 1 32 + 1 42

，…

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

（1）直接写出①，②，③的化简结果．
（2）根据（1）的结果，猜测第n个的化简结果，并证明你的猜测．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简

专题：规律型

分析：（1）把被开方数进行通分计算，然后开方即可；
（2）首先把

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

的被开方数进行通分可得

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

，再把分母开方，分子后两项展开可得

n2(n+1)2+n2+2n+1+n2

n(n+1)

，再进行整理可得

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1

n(n+1)

，然后再把分子进行开方即可．

解答：解：（1）①

1+ 1 12 + 1 22

=

3

2

；
②

1+ 1 22 + 1 32

=

7

6

；
③

1+ 1 32 + 1 42

=

13

12

；

（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+2n+1+n2

n(n+1)

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1

n(n+1)

=

n(n+1)+1

n(n+1)

．

点评：本题考查的是二次根式的性质与化简，关键是正确把被开方数1+

1

n2

+

1

(n+1)2

进行通分开方．