Question

如图，△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在BC上，连接AE，BD．
（1）求证：AE=BD；
（2）请直接写出AE与BD的位置关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）可先证明△ACE≌△BCD，再根据全等三角形的对应边相等可证得AE=BD；
（2）延长BD交AE于点F，由（1）可得到∠DBC=∠EAD，再结合条件可得到∠ADF+∠FAD=90°，可得到AE⊥BD．

解答：（1）证明：
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACE=∠BCD=90°，
在Rt△ACE和Rt△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）解：AE⊥BD．证明如下：

延长BD交AE于点F，由（1）可得到∠DBC=∠EAD，
∵BC⊥AD，
∴∠DBC+∠FDA=90°，
∴∠EAD+∠FDA=90°，
∴∠DFA=90°，即AE⊥BD．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL，性质有：对应边、角都相等．