Question

抛物线y=x²+bx+c经过点A（-4，0），B（2，0）且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段AC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△ADC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴子F点，M、N分别是x轴和线段EF上的动点，设M的坐标为（m，0），若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）只需用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）可用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-2x-8，设点P的坐标为（a，-2a-8），则点D（a，a²+2a-8），（-4＜a＜0），然后用割补法求得S_△ADC=-2（a+2）²+8，从而可求出△ADC的面积最大时点P的坐标；
（3）易求得OF=1、EF=9、OC=8．设FN=n，（0≤n≤9），然后分三种情况（Ⅰ．M与点F重合，Ⅱ．M在点F左侧，Ⅲ．M在点F右侧）讨论，运用相似三角形的性质均可得到m=-n²+8n-1（0≤n≤9）．由m=-n²+8n-1=-（n-4）²+15可得到m最大值为15，再由n=0时m=-1，n=9时m=-10可得m最小值为-10，从而可得到m的取值范围．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（-4，0），B（2，0），
∴

16-4b+c=0 4+2b+c=0

，
解得：

b=2 c=-8

．
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-8．

（2）如图1，
令x=0，得y=-8，
∴点C的坐标为（0，-8）．
设直线AC的解析式为y=kx+t，
则

-4k+t=0 t=-8

，
解得：

k=-2 t=-8

，
∴直线AC的解析式为y=-2x-8．
设点P的坐标为（a，-2a-8），则点D（a，a²+2a-8），（-4＜a＜0），
∴PD=（-2a-8）-（a²+2a-8）=-a²-4a，
∴S_△ADC=S_△APD+S_△CPD
=

1

2

PD•[a-（-4）]+

1

2

PD•（0-a）
=2PD=-2（a²+4a）
=-2（a+2）²+8，
∴当a=-2时，S_△ADC取到最大值为8，此时点P的坐标为（-2，-4）．

（3）由y=x²+2x-8=（x+1）²-9得E（-1，-9）、C（0，-8），
则有OF=1、EF=9、OC=8．
设FN=n，（0≤n≤9），
Ⅰ．当M与点F重合时，此时m=-1，n=8，显然成立；
Ⅱ．当M在点F左侧，作NQ⊥y轴于点Q，如图2①，此时m＜-1．
∵∠MNC=∠FNQ=90°，∴∠MNF=∠CNQ．
∵∠MFN=∠CQN=90°，
∴△MFN∽△CQN，
∴

MF

CQ

=

FN

QN

，
∴

-1-m

n-8

=

n

1

，
∴m=-n²+8n-1．
Ⅲ．当M在点F右侧，作NQ′⊥y轴于点Q′，如图2②，此时m＞-1．
∵∠MNC=∠FNQ′=90°，∴∠MNF=∠CNQ′．
∵∠MFN=∠CQ′N=90°，
∴△MFN∽△CQ′N，
∴

MF

CQ′

=

FN

Q′N

，
∴

m-(-1)

8-n

=

n

1

，
∴m=-n²+8n-1．
综上所述：m=-n²+8n-1，（0≤n≤9）．
∴m=-n²+8n-1=-（n-4）²+15，
∴当n=4时，m取到最大值为15．
∵n=0时m=-1，n=9时m=-10，
∴m取到最小值为-10，
∴m的取值范围是-10≤m≤15．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质等知识，运用配方法是解决第（2）小题的关键，运用相似三角形的性质及分类讨论是解决第（3）小题的关键．