Question

15．已知⊙O的直径AB=10cm，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为M，且CD=8cm，则AC的长为（　　）

• A． $2\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{5}$或6

Answer 1

分析 先根据垂径定理得CM=DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×8$=4，由直径AB=10cm，得OA=OC=5cm，由勾股定理得OM的长，利用勾股定理可得AC．

解答 解：∵CD⊥AB，
∴CM=DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×8$=4，
∵AB=10，
∴OA=OC=5，
∴OM=$\sqrt{{OC}^{2}{-CM}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3，
当如图1所示时，AM=AO+OM=8，
∴AC=$\sqrt{{AM}^{2}{+CM}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
当如图2所示时，AM=AO-OM=2，
∴AC=$\sqrt{{AM}^{2}{+CM}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题主要考查的是垂径定理，勾股定理及锐角三角函数的定义，熟知垂直于弦的直径平分弦，分类讨论是解答此题的关键．