题目内容
20．
如图，已知过点A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点．设PQ与MN交于点G．（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式；
（3）研究表明存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似，请求出时间t，并直接给出此时△GPM的形状．
分析 （1）先由题意求出P、Q两点移动的速度，再设经过t分钟，线段PQ的长度为2，用y表示出PM及QM的长，由勾股定理即可求出t的值；
（2）由（1）中PM及QM的长度即可得出线段PQ长度的平方，y与时间t之间的函数关系式及t的取值范围；
（3）由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答 解：（1）∵A（2，4），∴OM=AN=2，AM=ON=4，
∵P点1分钟可到达M点，Q点1分钟可到达A点，
∴P点的运动速度是2个单位每分钟，Q点的运动速度是4个单位每分钟，
设经过t秒，则PM=2-2t，MQ=4t，
在Rt△PQM中，PM2+MQ2=PQ2，即（2-2t）2+16t2=4，
20t2-4t=0，解得t=$\frac{2}{5}$或0（舍去），
即经过$\frac{2}{5}$秒，线段PQ的长度为2．
（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2，
即y=（2-2t）2+16t2，
即y=20t2-8t+4；
（3）当△PMQ∽△MON时，
$\frac{PM}{OM}$=$\frac{MQ}{ON}$，
即$\frac{2-2t}{2}$=$\frac{4t}{4}$，
解得：t=$\frac{1}{2}$，
当△QMP∽△MON时，
$\frac{QM}{OM}$=$\frac{MP}{ON}$，
即$\frac{4t}{2}$=$\frac{2-2t}{4}$，
解得：t=$\frac{1}{5}$，
故当t=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$时，P、Q、M构成的三角形与△MON相似．
点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的性质及勾股定理，根据题意用t表示出PM及QM的长度是解答此题的关键．
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