Question

9．如图，在△ABC中，AB=7，AC=3，G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F交AC的延长线于F，下列说法正确的是（　　）
①△ADE≌△ADF；②BE=CF；③AE=5．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据角平分线的性质得DE=DF，则根据“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△ADF；连接DB、DC，可判定DG垂直平分BC，则DB=DC，于是根据“HL”判断Rt△DBE≌Rt△DCF，所以BE=CF；利用Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF，则AB-BE=AC+CF，则计算出BE=CF=2，于是得到AE=5．

解答 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），所以①正确；
连接DB、DC，
∵G为BC的中点，DG⊥BC
∴DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DBE和Rt△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF，所以②正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∴AB-BE=AC+CF，
即7-BE=3+BE，解得BE=2，
∴AE=AB-BE=7-2=5，所以③正确．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．