Question

3．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则$\frac{AD}{AB}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 首先设AE与CD相交于F，根据折叠的性质可得△ACF、△DEF是等腰三角形，继而证得△ACF∽△EDF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DF：FC=3：5，再设DF=3x，FC=5x，即可求得AB，继而求得答案．

解答 解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF=CF，
∴AE-AF=CD-CF，
即DF=EF，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{EF}{AF}$，
又∵∠AFC=∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
设DF=3x，FC=5x，则AF=5x，
在Rt△ADF中，AD=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{（5x）^{2}-（3x）^{2}}$=4x，
又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4x}{8x}$=$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．