Question

19．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，过点E作EF⊥AE，交CD于点F，连接AF并延长，交BC的延长线于点G．则CG的长为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AB=BC，∠B=∠BCD=∠BCD=90°，由正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，得到AB=BC=4，BE=CE=2，根据余角的性质得到∠BAE=∠CEF，推出△ABE∽△CEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，求得CF=1，通过△GCF∽△GBA，求得CG=$\frac{4}{3}$．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠BCD=90°，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，
∴AB=BC=4，BE=CE=2，
∵EF⊥AE，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△CEF，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，
∴CF=1，
∵CD∥AB，
∴△GCF∽△GBA，
∴$\frac{CF}{AB}=\frac{CG}{BG}$，即$\frac{1}{4}=\frac{CG}{4+CG}$，
∴CG=$\frac{4}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．