Question

3．如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠EDF=90°，顶点D是斜边AB的中点，角的两边分别交CA，CB于点E，F．
（1）探究AE，BF，EF之间存在何等量关系，并证明你的结论；
（2）将∠EDF绕其顶点旋转，角的两边分别在AC，CB的延长线上，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？

Answer 1

分析 （1）AE²+BF²=EF²，连接CD，由△ABC为等腰直角三角形，得到AD=CD，且∠A=∠DCF=45°，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得出△ADE与△CDF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=CF，再由AC=BC，得到CE=BF，在Rt△CEF中，利用勾股定理列关系式，等量代换即可得证；
（2）成立，连接接CD，由△ABC为等腰直角三角形，得到AD=CD=BD，且∠ACD=∠ABC=45°，得到一对邻补角相等，再由∠EDF=90°，利用等式性质得到一对角相等，利用ASA得出△CDE与△BDF全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得到CE=BF，在Rt△CEF中，利用勾股定理列关系式，等量代换即可得．

解答 （1）AE²+BF²=EF²；
证明：如图1，连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF=45°}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE²+CF²=EF²
则AE²+BF²=EF²；
（2）成立，
证明：如图2，连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠ACD=∠ABC=45°，
又∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDF+∠FDC=∠CDB+∠FDC，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠FBD}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，又AC=BC，
∴CF=BF-BC=CE-AC=AE，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
则AE²+BF²=EF²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用了等量代换的思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．