Question

18．关于x的一元二次方程x²+2（m+1）x+m²+5=0有两个实根x₁，x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m=3时，若|x₁|，|x₂|恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c；
（3）若方程两实根x₁，x₂满足-x₁-x₂=$\frac{2}{3}$x₁•x₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由于一元二次方程x²+2（m+1）x+m²+5=0有两个实根x₁，x₂，于是得到△=[2（m+1）]²-4（m²+5）=4m²+8m+4-4m²-20=8m-16≥0，解不等式即可得到结论；
（2）当m=3时，方程可化为x²+8x+14=0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-8，x₁•x₂=14，代入代数式即可得到结果；
（3）把根与系数的关系代入-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=$\frac{2}{3}$x₁•x₂，解关于m的方程即可得到结果．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²+2（m+1）x+m²+5=0有两个实根x₁，x₂，
∴△=[2（m+1）]²-4（m²+5）=4m²+8m+4-4m²-20=8m-16≥0，
解得：m≥2；

（2）当m=3时，方程可化为x²+8x+14=0，
∵x₁+x₂=-8，x₁•x₂=14，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-8）²-2×14=36，
所以斜边长6；

（3）-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=$\frac{2}{3}$x₁•x₂，
∴2（m+1）=$\frac{2}{3}$（m²+5），
∴m₁=1，m₂=2，
又∵m≥2，
∴m=2．

点评 本题主要考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、根与系数的关系以及勾股定理的知识，解答本题的关键是求出m的取值范围，此题难度一般．