Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理

专题：

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．

解答：解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c
即a²=b²+c²+bc
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
故cosA=-

1

2

，A=120°；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC．
变形得

3

4

=（sinB+sinC）²-sinBsinC
又sinB+sinC=1，得sinBsinC=

1

4

上述两式联立得sinB=sinC=

1

2

，
因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，
故B=C=30°
所以△ABC是等腰的钝角三角形．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．