题目内容

观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
(
2
+1)(
2
-1)=1，(
3
+
2
)(
3
-
2
)=1，(
4
+
3
)(
4
-
3
)=1，(
5
+
4
)(
5
-
4
)=1，…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2012
+
2011
)•(
2012
+1)
（2）利用上面的规律，试比较
11
-
10
与
12
-
11
的大小．
分析：（1）先由题目给出的一组等式，可得出规律
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
，再将所求式子中各项按此规律化简后相加，合并同类二次根式即可；
（2）利用倒数关系比较大小即可．
解答：解：（1）由上面的解题规律可直接写出
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
，
则(
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2012
+
2011
)•(
2012
+1)
=（
2
-1）+（
3
-
2
）+（
4
-
3
）+…+（
2012
-
2011
）
=
2012
-1；

（2）∵
1
11
-
10
=
11
+
10
，
1
12
-
11
=
12
+
11
，
∵
11
+
10
＜
12
+
11
，
∴
1
11
-
10
＜
1
12
-
11
，
∴
11
-
10
＞
12
-
11
．
点评：本题主要考查了实数的大小比较，通过观察得出规律
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
（2012•安庆二模）观察下列一组等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…．
解答下列问题：
（1）对于任意的正整数n：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
【证】
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=
2011
2012
2011
2012
．
【解】
（3）已知m为正整数化简：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2m-1)(2m+1)
=
m
2m+1
m
2m+1
．
先观察下列两组等式，然后用你发现的规律解答下面问题．
①
1
1×2
=1-
1
2
；  
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；  
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…
②
1
1×4
=
1
3
(1-
1
4
)；  
1
4×7
=
1
3
(
1
4
-
1
7
)；  
1
7×10
=
1
3
(
1
7
-
1
10
)；…
求方程：
x
1×3
+
x
3×5
+
x
5×7
+…+
x
1993×1995
=997的解．

观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
数学公式，数学公式，数学公式，数学公式，…
（1）观察上面的规律，计算下列式子的值．
数学公式…+数学公式
（2）利用上面的规律，试比较数学公式与数学公式的大小．
观察下列一组等式：=1-，=-，=-，…．
解答下列问题：
（1）对于任意的正整数n：=______．
【证】
（2）计算：+++…+=______．
【解】
（3）已知m为正整数化简：+++…+=______．

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