Question

（2012•安庆二模）观察下列一组等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…．
解答下列问题：
（1）对于任意的正整数n：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
【证】
（2）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=

2011

2012

．
【解】
（3）已知m为正整数化简：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2m-1)(2m+1)

=

m

2m+1

．

Answer 1

分析：（1）观察可得规律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后利用分式的加减运算法则求解，即可求得答案；
（2）由（1）可将原式化为：1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

，继而求得答案；
（3）由（1）可将原式化为：

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2m-1

-

1

2m+1

），继而求得答案．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
证明：

1

n

-

1

n+1

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

；

（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2m-1)(2m+1)

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2m-1

-

1

2m+1

）=

1

2

×（1-

1

2m+1

）=

m

2m+1

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

，（2）

2011

2012

，（3）

m

2m+1

．

点评：此题考查了分式的加减运算法则．此题属于规律性题目，难度适中，注意掌握规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解此题的关键．