Question

12．当x=3时，二次函数取最大值1，且图象与x轴两交点之间的距离为2，求这个二次函数解析式．

Answer 1

分析 利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，则根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（2，0），（4，0），于是可设交点式y=a（x-2）（x-4），然后把顶点坐标代入求出a的值即可．

解答 解：根据题意得抛物线的对称轴为直线x=3，
而抛物线与x轴两交点之间的距离为2，
所以抛物线与x轴的两交点坐标为（2，0），（4，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）（x-4），
把（3，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-（x-2）（x-4），即y=-x²+6x-8．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，