Question

20．如图，在四边形OABC中，AB∥OC，OA=BC，点B，C的坐标分别为（4，8），（6，0），E为BC上一点，且BE=3CE，过点B作BD⊥x轴于点D．双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点E，且交BD于点F．
（1）求k的值及点F的坐标；
（2）求四边形OABC的面积．

Answer 1

分析 （1）过E作EH⊥OC于H，设E（m，$\frac{k}{m}$），由已知条件得到CH=6-m，根据EH∥BD，得到$\frac{CH}{CD}=\frac{CE}{BC}$=$\frac{EH}{8}$，求得E（$\frac{11}{2}$，2），由于双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点E，于是得到k=11，由OD=4，得到点F的横坐标为4，即可得到F（4，$\frac{11}{4}$）；
（2）根据等腰梯形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵点B，C的坐标分别为（4，8），（6，0），
∴BD=8，OD=4，OC=6，
∴CD=2，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
过E作EH⊥OC于H，
设E（m，$\frac{k}{m}$），则CH=6-m，
∵BD⊥OC，
∴EH∥BD，
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{CE}{BC}$=$\frac{EH}{8}$，
即$\frac{6-m}{2}=\frac{1}{4}$，
∴m=$\frac{11}{2}$，EH=2，
∴E（$\frac{11}{2}$，2），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点E，
∴k=11，
∵OD=4，
∴点F的横坐标为4，
∴DF=$\frac{11}{4}$，
∴F（4，$\frac{11}{4}$）；

（2）∵四边形OABC是等腰梯形，
∴AB=OC-2CD=2，
∴S_{四边形OABC}=$\frac{1}{2}$（2+6）×8=32．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰梯形的面积的计算，平行线分线段成比例定理，掌握的作出辅助线是解题的关键．