Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE
（1）证明OE∥AD；
（2）①当∠BAC=45°时，四边形ODEB是正方形．
     ②当∠BAC=30°时，AD=3DE．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明Rt△ODE≌Rt△OBE得到∠BOE=$\frac{1}{2}$∠DOB，根据半径相等得到∠A=$\frac{1}{2}$∠DOB，根据平行线的判定证明OE∥AD；
（2）①根据正方形的性质和平行线的性质可得结论；
②作OF⊥AD于F，根据垂径定理和锐角三角函数的知识计算得到答案．

解答 解：（1）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
在Rt△ODE和Rt△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODE≌Rt△OBE，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∵OA=OD，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD；
（2）①当四边形ODEB是正方形时，BO=BE，
∴∠BOE=45°，
∵OE∥AD，
∴∠BAC=45°；
②当∠BAC=30°时，AD=3DE，
证明：作OF⊥AD于F，
由垂径定理可知，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠BAC=30°，
∴∠ODF=∠DOE=30°，
∴OD=$\frac{DF}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，
OD=$\frac{DE}{tan30°}$=$\sqrt{3}$DE，
∴AD=3DE．

点评 本题考查的是切线的性质和全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，正确找出辅助线、灵活运用切线的性质在直角三角形中正确运用三角函数的概念是解题的关键．