Question

10．如图，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=4$\sqrt{3}$，求四边形AEDF的周长．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC利用中位线的性质可得DE=DF，四边形AEDF为平行四边形，由邻边相等的平行四边形是菱形证得结论；
（2）首先由等腰三角形的性质“三线合一”得AD⊥BC，BD=BC=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$，由锐角三角函数定义得AE，易得四边形AEDF的周长．

解答 （1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AF且DE=$\frac{1}{2}AC$=AF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
同理可得，DF∥AB且DF=$\frac{1}{2}AB=AE$，
∵AB=AC，
∴DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）解：连接AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{BD}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∵四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF的周长为4×4=16．

点评 此题主要考查了菱形的判定及性质定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．